如果已经和单位签了纸质版三方协议，即使学校没盖章，也需要完成与单位的三方协议解除才能再和下一家单位签约，下一家单位无论是网上签约还是纸质版签约都是再次签约了。

以上内容仅供参考，如果还有疑问，建议询问专业人士意见。