如果对方没有起诉重婚罪，重婚一方是否能开具无犯罪记录证明需要根据具体情况来判断。

如果有法院判决重婚罪，那么重婚一方无法开具无犯罪记录证明。如果涉嫌重婚罪，但没有法院判决，可以向公安机关申请开具无犯罪记录证明。

然而，如果没有足够的证据证明重婚行为，法院可能不会支持重婚罪的诉讼。在这种情况下，建议您咨询律师以了解具体的法律规定和操作流程。